Diskussion:öppen

Definitionen sådan att dess rand inte tillhör mängden öppnar (ursäkta...) för en cirkeldefinition, då "rand" just nu definieras som "mängd av randpunkter", och "randpunkt" definieras i termer av "öppna omgivningar"... Frågan är var vi bryter oss in i den cirkeln på lämpligast sätt, helst utan att referera till den topologiska definitionen av öppen. ("En öppen (del)mängd av ett (topologiskt) rum är ett element i den familj av mängder som definierats att vara öppna, då man tilldelade en topologi till rummet", ungefär.:() \Mike 19 juli 2007 kl. 19.19 (CEST)

Jag lade också märke till det (jag tror t o m att jag skapat alla nämnda definitioner... ursäkta). Det känns enklast att skriva om randpunkt. Nu ser det ut så här:

öppen: sådan att dess rand inte tillhör mängden

rand: mängden ∂M som innehåller alla randpunkter till M

randpunkt: en punkt sådan att varje öppen omgivning med medelpunkt i denna punkt nödvändigtvis innehåller punkter både i och utanför M

Vi skulle kunna ändra till följande:

öppen: sådan att dess rand inte tillhör mängden

rand: mängden ∂M som innehåller alla randpunkter till M

randpunkt: en punkt sådan att varje öppet klot med medelpunkt i denna punkt nödvändigtvis innehåller punkter både i och utanför M

öppet klot: definieras med mängsymbol

Då "öppet klot" definieras utan att nämna begreppet "öppen" slipper vi cirkeldefinitionerna. Det känns kanske inte helt bra, men kanske lite bättre. Jag slog just i Persson, Böiers, Analys i flera variabler, och de framställer också teorin på det sättet. F ö kan jag inte så mycket om topologi (åtminstone inte vad jag vet - vissa resultat kan man ju även om man inte känner till den formella ämnestillhörigheten :) ). Har du något bättre förslag? --Andreas Rejbrand 19 juli 2007 kl. 19.53 (CEST)

En sak till slog mig: för att vara petig är ju randen en mängd, så den kan inte "tillhöra" mängden (även om den kan vara en delmängd av den), varför jag ändrar definitionen av öppen till

sådan att varje randpunkt tillhör mängdens komplement.

--Andreas Rejbrand 19 juli 2007 kl. 19.53 (CEST)

Men då om man går hela vägen tillbaka till ursprunget, så kan man alltså dra slutsatsen att öppna mängder måste vara delmängder av Rⁿ, då det öppna klotet är definierat som en sådan delmängd... Njaaaee... :( \Mike 19 juli 2007 kl. 20.29 (CEST)

Hur vill du göra, då? --Andreas Rejbrand 19 juli 2007 kl. 20.42 (CEST)