Diskussion:∂

Varför byter y och x plats i den första derivatan? Vilket är tecknet för "vanlig derivata", eller är det det som är partiell derivata? (f(x)=2x²; f'(x) = 2x² dx) -Moberg 2 januari 2008 kl. 15.33 (CET)

Om $f(x)=2x^{2}$ så är derivatan ${d \over dx}f(x)=f'(x)=4x$. Du kan inte skriva ${d \over dx}f(x)=f'(x)=2x^{2}dx$ - det förstår jag inte ens vad det betyder. Den partiella derivatan av en funktion av flera variabler, är den derivata som erhålles om funktionen deriveras med avseende på en av variablerna under det att den andra betraktas som en konstant. T.ex. om $f(x,y)=x^{2}y^{3}$ så är ${{\partial } \over {\partial x}}f(x,y)=f'_{x}(x,y)=2y^{3}x$ och ${{\partial } \over {\partial y}}f(x,y)=f'_{y}(x,y)=3x^{2}y^{2}$. Naturligtvis är $2y^{3}x=2xy^{3}$, men man brukar skriva konstanterna först. --Andreas Rejbrand 2 januari 2008 kl. 15.51 (CET)

Där slog Andreas mig... ;) Nå, $2x^{2}dx$ är ett begrepp som förekommer Överkurs: kallas för en 1-form, och är ett exempel på en differentialform, men att skriva att detta skulle vara samma sak som en derivata är såvitt jag vet aldrig att betrakta som korrekt. \Mike 2 januari 2008 kl. 16.01 (CET)

Jo, har allt sätt 2x² dx och undrade lite vad det var i sammanhanget, men ${{\partial } \over {\partial x}}$ är ett smalare begrepp till ${d \over dx}$ eller måste det användas när flera variabler finns? För det struntade i sådana fall våran lärare i (på gymnasiet).

Dessutom har jag för mig att vi använde f(x,y)=2xy²; f"(x,y) = 2xy² dxdy ... (eller nåt liknande) differentialform? -Moberg 2 januari 2008 kl. 16.59 (CET)

Det är inte så att du sett 2x² dx i en integral? Sätter du integraltecknet $\int$ först så har du ju beteckningen för en primitiv funktion. Men att sätta f"(x,y) = 2xy² dxdy är *fel*, om du med f"(x,y) menar andraderivatan av funktionen f (med avseende på vilken/vilka variabel/variabler, förresten?)

Differentialformer har du med all sannolikhet inte stött på på gymnasiet, försåvitt du inte läste ganska mycket högskolematematik under den tiden.

${{\partial } \over {\partial x}}$ är beteckningen som ska användas om funktionen som ska deriveras är definierad på ett område som har högre dimension än 1. ("om funktionen beror på mer än en variabel"). Men i vissa fall så kan man utföra en beräkning i taget, sätta (t.ex.) y som en konstant och beräkna derivatan av f med avseende på x som om funktionen endast berodde på denna enda variabel. Jag kan tänka mig att d/dx-varianten av vissa används då, även om det inte är helt brukligt och lite vanskligt för vissa typer av beräkningar och jag själv skulle använt partial-alternativet. \Mike 2 januari 2008 kl. 17.16 (CET)

Vi kan ta ett exempel. Funktionen $f$ som ges av $f(x)=x^{2}$ har i varje punkt lutningen ${d \over dx}f(x)=f'(x)=2x$. Om vi å andra sidan vet att det finns en funktion $g$ sådan att den i varje punkt har lutningen $3x$, så vet vi att $g$ måste vara lika med den funktion som har $3x$ som derivata, d.v.s. primitiven till $3x$. Denna skrives $g(x)=\int 3xdx={3 \over 2}x^{2}+C$. Man kontrollerar ju enkelt att ${d \over dx}g(x)={d \over dx}({3 \over 2}x^{2}+C)=3x$. --Andreas Rejbrand 2 januari 2008 kl. 17.28 (CET)

På gymnasiet räknar man en del med enkla (bestämda) integraler, som tolkas som areor. Det är nog där du främst sett $dx$. T.ex. är arean av området som avgränsas av kurvorna $y=0$, $x=0$, $x=1$ och $y=x^{2}$ (arean under parabeln $y=x^{2}$ i intervallet $x\in [0,1]$) lika med

$\int _{0}^{1}x^{2}dx=[{1 \over 3}x^{3}]_{0}^{1}={1 \over 3}$.

--Andreas Rejbrand 2 januari 2008 kl. 17.33 (CET)

Jo allt det här med integralerna stämmer nog, dum jag var! och tack! ^^; -Moberg 2 januari 2008 kl. 20.07 (CET)